Вписані чотирикутники

Чотирикутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі.

Властивості вписаного чотирикутника:
1. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 градусів.
2. Якщо паралелограм вписаний у коло, то він є прямокутником.
3. Якщо трапеція вписана в коло, то вона рівнобічна.

 

        

Ознака вписаного чотирикутника:
1. Якщо сума протилежних кутів чотирикутика дорівнює 180 градусів, то навколо нього можна описати коло.
2. Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло.
3. Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло.

Метод допоміжного кола

Однією з допоміжних побудов є коло. Його радіус можна застосовувати як допоміжний елемент для доведення формул і багатьох метричних співвідношень.

За допомогою допоміжного кола розв’язуються такі види задач:

·        задачі на доведення;

·        задачі на побудову;

·        задачі на обчислення.

Задача. На стороні квадрата зовні побудовано прямокутний трикутник, гіпотенуза якого зовні збігається з стороною квадрата. Довести, що бісектриса прямого кута цього трикутника поділяє площу квадрата навпіл.

Доведення. Якщо ABCD – даний квадрат, а ВМС – прямокутний трикутник, то коло, яке описане навколо трикутника ВМС, проходить через точку О – центр квадрата (рис.1). А оскільки ВО = ОС, то й бісектриса кута ВМС також повинна проходити через точку О. Отже, вона поділяє площу  квадрата навпіл.